概率论 – Writing Is Leading

上次在《概率论和认知心理学：条件概率》一文中，我们见识了人类认知系统中的系统一对条件概率的无感。心理学界还有一个和概率有关的大名鼎鼎的“琳达问题”，让学者们出乎意料。

“琳达问题”，又叫做合取谬误（Conjunction fallacy），是著名心理学家丹尼尔·卡尼曼和他的同事阿莫斯的一个重大发现。在这个心理实验中，他们假想了一名叫琳达的女性：31岁，单身，直言不讳，非常聪明；她主修哲学；在学生时代，她深切关注歧视和社会公正问题，还参加了反核示威活动。在提供了这些琳达的描述后，他们让参加实验的学生给一系列可能的情况按概率大小排序，其中包括以下两种情况。

A. 琳达是银行出纳。

B. 琳达是银行出纳，积极参与女权运动。

其实问题的关键就是这两种情形，其他选项都是烟雾弹，为了不引起学生的怀疑。测试结果是89%的大学生认为情形B比情形A的概率大，这个自然是不对的。有基本数学训练的读者知道B是A的特例或一个子集，子集的概率当然要小于超集。

接下来，两位心理学家干脆把烟雾弹去掉，直接把A和B放在测试学生面前，还是有85%到90%的大学生答错，就连斯坦福商学院学过概率统计的博士生都好不到哪里（85%）。

丹尼尔在《思考，快与慢》书中回顾了这个实验。问题出在哪呢？

首先，认知系统中的系统二没有启动，就直接让系统一从感性上给出了答案。系统一是如何运作的呢？记得我们说过的，系统一对概率无感，不会数学。当问到概率的时候，系统一把问题做了一个替换，将概率比较变为了系统一可以理解的“A和B中哪种情形更像是琳达？”

“更像”和“概率更大”，看似是一个问题，实际上是两件事，甚至背道而驰。更加详细的描述──只要是符合系统一对琳达的估计──就会让系统一觉得更加合理。积极参与女权运动的银行出纳，比一般的银行出纳，更像是琳达。子集胜于超集，这和概率是相反的。

人的认知系统常常会在不知不觉中做类似这样的问题转换（substitution)，它把不擅长的问题转换成系统一可以处理的问题。在琳达问题中，它做的是概率和代表性（representativeness）的转换。在可得性偏差（Availability Bias）里，它把一类事件发生的频率的估计，转换成我们对联想到此类事件的实际例子的容易程度（比如最近飞机失事的例子）。这就是为什么在刚刚发生某类事件后，人们对此类事件的未来可能性的估计总是偏高。

如何避免我们的认知系统的局限性带来的偏差呢？还是一句话，让我们的系统二来做理性的分析。这需要我们对自身认知的局限性有清楚的认识和警觉性。

著名科普作家古尔德当然知道琳达问题的正确答案，但是他也说到：“我脑子里的一个小矮人不断地跳来跳去，冲着我大喊──‘但她不可能只是一个银行柜员；请看清楚题目的描述！’”这个小矮人自然就是系统一。我对此也深有同感：每次回顾这个心理题，系统一总是顽固地要把我带偏。看来唯一的解决办法就是，碰到概率问题，马上放弃直觉，拿出纸笔，画图，列公式，让系统二来解题。

《Fooled by Randomness》是著名思想家塔勒布（Nassim Nicholas Taleb）的巨作“不确定性三部曲”中的第一本。在书中，塔勒布给出一道让很多医生汗颜的概率题，只有不到20%的医生给出了正确答案。

题一：假设有一种疾病，它的发病率是0.1%，也就是说平均每1000人中有一人患有该疾病。针对该疾病有一个测试，它的假阳性率是5%，没有假阴性。现在有一个人的测试呈阳性，请问他患病的概率是多少？

大多数人会说95%，并且认为0.1%的发病率是没有用的条件。做错了的人其实不用不好意思，正如塔勒布在书里论证的，人类在基因上是概率盲人。

以诺贝尔经济学奖得主丹尼尔·卡尼曼（Daniel Kahneman）为首的心理学家认为人的大脑有两个系统：快速、直觉且情绪化的系统一，以及较慢但擅长逻辑思考的系统二。系统一和系统二到底哪个是更好的决策系统？要看情况。实际情况是，人们常常用系统一来做快速决定。著名畅销书作家格拉德威尔（Malcolm Gladwell）在《Blink》一书论述到，基于直觉的快速决定往往胜于反复的推敲。他从军事、医疗、艺术、体育等多个领域中引证来支持他的这个观点。从进化论来说，这个观点合情合理：我们的祖先靠快速的决定来躲避自然界中随时可能突发的危险，那些还在用系统二做逻辑推理的猿人早就成为美洲狮的大餐了。

问题是，从进化论的角度出发，概率论对原始人来说，对提高他们的生存和繁衍后代的几率没有什么用，所以我们的系统一对概率的直觉非常的弱。这也是为什么──正如塔勒布书里提及的──很多受过高等数学教育（包括概率论）的从事金融交易的专业人士也会经常在概率上犯低级错误，因为他们只启动了系统一。塔勒布承认他也不例外，只是他知道自己的局限性，时时提醒自己不要“感情用事”而犯错。

系统一的概率误区比比皆是，比如随机事件的独立性：在连着掷出十次硬币朝上之后，下一次硬币朝上的概率还是50%，这一点中学生都明白（实际上是背住了），但在直觉上还是难以接受。我们的系统一没有办法对概率进行抽象思维，只好借助于一些启发（heuristic），比如可得性启发（availability heuristic）：越容易想到的情境，人们认为这样的事发生的机率也越高。如果你身边的不少人都患有某种慢性病，你就会觉得这种慢性病的得病率比实际的高。

现在回到一开始的那道概率题，它让人困惑的原因是系统一对条件概率基本无感。到底什么是假阳性率？百度百科上定义为：无病，但根据筛检被判为有病的百分比。它的严格数学定义应该是用条件概率：P(测试为阳性|无病)。而题目所问的，一个人在测试阳性的情况下患病的概率，写成条件概率是：P(有病|测试为阳性)，也等于1-P(无病|测试为阳性)。为什么大多数人不假思索（实际上是用了快速的系统一）的回答都是95%？这是因为系统一对条件概率根本无感，它把P(A|B)当作是P(A∩B)了，也就是说，它把假阳性率理解成无病“并且”测试为阳性的概率。在这个错误的假设下，P(A|B)=P(A∩B)=P(B∩A)=P(B|A)，那么P(无病|测试为阳性)=P(测试为阳性|无病)=5%，最终的答案就是1-5%=95%。其实系统一的整个推断过程是一个快速直觉的判断，根本不做上述（错误的）数学推导，只有我们把数学推导列出来后，才能找到系统一的错误。

条件概率对人们来说是一个难于理解的数学概念，和我们的系统一格格不入。这也是为什么很多人都困惑于著名的Monty Hall problem，因为它太反直觉了。

题一的答案实际上是2%左右，非常低的一个数字，我这里不仔细讲解解题过程了。也就是说，如果测试呈阳性，患病的概率只有2%，这个结果也是反直觉。你肯定要惊讶了，这样的测试有什么用？是的，5%的假阳性率是很烂的，即便是1%的假阳性率，测出阳性后还要多测几次才能确诊。反之，当人们得出95%的错误答案的时候，因为答案符合直觉，就不去质疑了。

要想做出正确的决策，我们要能估计系统一给出的答案的正确性，在存疑的时候调动我们的系统二来做逻辑分析，这样结合两个系统才能增加决策的正确性。用系统一来估计系统一的正确性，看似有点自相矛盾，但是如果熟知系统一的局限性，我们还是可以给自己一个小预警的。做题一时，不随意地走直觉，把数学式子列一下，估计经过高中数学训练的同学还是能够做对的。

为了充分地显示我们对条件概率的局限性，我编了一道概率题：

题二：小明不怕淋雨，下雨的时候，平均十次里只有一次打雨伞。这天，小明从外面回来时带着雨伞，在不去检查雨伞是否被淋湿的情况下，请你估计外面正在下雨的概率是多少？

我想有人可能会说90%吧。正确答案是：条件不足。猜测是90%的人们大概是这样想的，小明打伞是小概率事件，那么小明都打伞了，下雨的概率肯定很大，所以系统一就大概齐地做了一个1-10%的运算，咋一想好像也是那么回事：P(下雨|带雨伞) = 1- P(带雨伞|下雨) ，这当然是错的。

参考书

还是那句话，尽量看英文原版，没有条件的可以参考以下译本。

《随机漫步的傻瓜》，纳西姆·尼古拉斯·塔勒布。
《思考，快与慢》，丹尼尔·卡尼曼。
《眨眼之间》，马尔科姆·格拉德威尔。

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概率论和认知心理学：琳达问题

概率论和认知心理学：条件概率

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