概率论和认知心理学

为什么概率题常常反直觉?带你了解我们认知系统的局限性。

Fooled by Randomness》是著名思想家塔勒布(Nassim Nicholas Taleb)的巨作“不确定性三部曲”中的第一本。在书中,塔勒布给出一道让很多医生汗颜的概率题,只有不到20%的医生给出了正确答案。

题一:假设有一种疾病,它的发病率是0.1%,也就是说平均每1000人中有一人患有该疾病。针对该疾病有一个测试,它的假阳性率是5%,没有假阴性。现在有一个人的测试呈阳性,请问他患病的概率是多少?

大多数人会说95%,并且认为0.1%的发病率是没有用的条件。做错了的人其实不用不好意思,正如塔勒布在书里论证的,人类在基因上是概率盲人。

以诺贝尔经济学奖得主丹尼尔·卡尼曼(Daniel Kahneman)为首的心理学家认为人的大脑有两个系统:快速、直觉且情绪化的系统一,以及较慢但擅长逻辑思考的系统二。系统一和系统二到底哪个是更好的决策系统?要看情况。实际情况是,人们常常用系统一来做快速决定。著名畅销书作家格拉德威尔(Malcolm Gladwell)在《Blink》一书论述到,基于直觉的快速决定往往胜于反复的推敲。他从军事、医疗、艺术、体育等多个领域中引证来支持他的这个观点。从进化论来说,这个观点合情合理:我们的祖先靠快速的决定来躲避自然界中随时可能突发的危险,那些还在用系统二做逻辑推理的猿人早就成为美洲狮的大餐了。

问题是,从进化论的角度出发,概率论对原始人来说,对提高他们的生存和繁衍后代的几率没有什么用,所以我们的系统一对概率的直觉非常的弱。这也是为什么──正如塔勒布书里提及的──很多受过高等数学教育(包括概率论)的从事金融交易的专业人士也会经常在概率上犯低级错误,因为他们只启动了系统一。塔勒布承认他也不例外,只是他知道自己的局限性,时时提醒自己不要“感情用事”而犯错。

系统一的概率误区比比皆是,比如随机事件的独立性:在连着掷出十次硬币朝上之后,下一次硬币朝上的概率还是50%,这一点中学生都明白(实际上是背住了),但在直觉上还是难以接受。我们的系统一没有办法对概率进行抽象思维,只好借助于一些启发(heuristic),比如可得性启发(availability heuristic):越容易想到的情境,人们认为这样的事发生的机率也越高。如果你身边的不少人都患有某种慢性病,你就会觉得这种慢性病的得病率比实际的高。

现在回到一开始的那道概率题,它让人困惑的原因是系统一对条件概率基本无感。到底什么是假阳性率?百度百科上定义为:无病,但根据筛检被判为有病的百分比。它的严格数学定义应该是用条件概率:P(测试为阳性|无病)。而题目所问的,一个人在测试阳性的情况下患病的概率,写成条件概率是:P(有病|测试为阳性),也等于1-P(无病|测试为阳性)。为什么大多数人不假思索(实际上是用了快速的系统一)的回答都是95%?这是因为系统一对条件概率根本无感,它把P(A|B)当作是P(A∩B)了,也就是说,它把假阳性率理解成无病“并且”测试为阳性的概率。在这个错误的假设下,P(A|B)=P(A∩B)=P(B∩A)=P(B|A),那么P(无病|测试为阳性)=P(测试为阳性|无病)=5%,最终的答案就是1-5%=95%。其实系统一的整个推断过程是一个快速直觉的判断,根本不做上述(错误的)数学推导,只有我们把数学推导列出来后,才能找到系统一的错误。

条件概率对人们来说是一个难于理解的数学概念,和我们的系统一格格不入。这也是为什么很多人都困惑于著名的Monty Hall problem,因为它太反直觉了。

题一的答案实际上是2%左右,非常低的一个数字,我这里不仔细讲解解题过程了。也就是说,如果测试呈阳性,患病的概率只有2%,这个结果也是反直觉。你肯定要惊讶了,这样的测试有什么用?是的,5%的假阳性率是很烂的,即便是1%的假阳性率,测出阳性后还要多测几次才能确诊。反之,当人们得出95%的错误答案的时候,因为答案符合直觉,就不去质疑了。

要想做出正确的决策,我们要能估计系统一给出的答案的正确性,在存疑的时候调动我们的系统二来做逻辑分析,这样结合两个系统才能增加决策的正确性。用系统一来估计系统一的正确性,看似有点自相矛盾,但是如果熟知系统一的局限性,我们还是可以给自己一个小预警的。做题一时,不随意地走直觉,把数学式子列一下,估计经过高中数学训练的同学还是能够做对的。

为了充分地显示我们对条件概率的局限性,我编了一道概率题:

题二:小明不怕淋雨,下雨的时候,平均十次里只有一次打雨伞。这天,小明从外面回来时带着雨伞,在不去检查雨伞是否被淋湿的情况下,请你估计外面正在下雨的概率是多少?

我想有人可能会说90%吧。正确答案是:条件不足。猜测是90%的人们大概是这样想的,小明打伞是小概率事件,那么小明都打伞了,下雨的概率肯定很大,所以系统一就大概齐地做了一个1-10%的运算,咋一想好像也是那么回事:P(下雨|带雨伞) = 1- P(带雨伞|下雨) ,这当然是错的。

这两道题的错误解是一个道理,P(A|B)不可能只从P(B|A)推出来,不论是P(A|B)=P(B|A),还是P(A|B)=1-P(B|A),都是不对的。系统一没有办法理解条件概率,它只能感性地估计概率的大小,然后试图在数字上能够凑出一个貌似合理的推理,这就是人类的认知对于概率论的一个局限性。下次碰到概率问题的时候,就不要折磨自己的系统一了,把纸笔拿出来,让我们的系统二来做理性的分析,这样才可以避免直觉带来的错误。

参考书

还是那句话,尽量看英文原版,没有条件的可以参考以下译本。

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概率论和心理学

没有人希望自己的孩子去见心理医生

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《Maybe You Should Talk to Someone》是美国2019年度畅销书。它的作者Lori Gottlieb九年前在大西洋杂志上发表了一篇反响非凡的文章:How to Land Your Kid in Therapy。洋洋洒洒七千余字的英文,看起来貌似标题党,实际上是一句反话,没有人想让自己的子女去见心理医生,但是有的时候家长们的美好愿望却是事与愿违。

Lori Gottlieb是一位心理治疗师(psychotherapist),同时也是一名作家,在著名的大西洋杂志上写专栏。写文章的起因是作者碰到一些年轻的病人,他们在父母的关怀下成长,从小衣食无忧,一帆风顺,事业家庭双丰收,可是就是有一种莫名的空虚和缺乏幸福感,甚至患上了忧郁症或是焦虑症。这让作者不禁要问这样一个问题,是不是父母想保护子女,让他们幸福的初衷反而成为他们不幸福的原因呢?作者的回答是肯定的,这就是本文的主要论点。

作者引用Dan Kindlon,一位儿童心理医生同时是哈佛大学讲师的观点 — 如果小时候没有经历过痛苦的经历,我们就不会培养出“心理免疫力”。初衷美好的父母呵护着他们的孩子,让他们从小无忧无虑,后者长大后就不知道如何应付焦虑。要避免这种情况,让他们更加独立,父母就要准备子女随时会离开他们。可是哪个父母可以做到呢?这个从美国大学新生的入校就可以看出来。那些所谓的“直升机父母”(helicopter parents)在校园里恋恋不舍,害得校方还得请专门人员“对付”这些父母们。看来不只是中国的新生入校才有的问题,真是可怜天下父母心!

父母们有时把自己的需要和子女的需要混为一谈。在我们对他们不断提出更高的期望的时候,其实也不知道是为了他们的幸福还是我们自己的幸福。美国虎妈蔡美儿(Amy Chua)的育儿经曾引起了很大的争议和许多家长的指责,其实他们中的很多也是同样执迷不悟的执著于子女的幸福,只是五十步笑百步罢了。

作者评判了青少年体育比赛已经失去了竞技性,而成为了参与光荣的“皆大欢喜”体育,只要参加就有奖牌。家长过份强调自信心的培养,过多的鼓励式教育充斥以溢美之词。美国学校里的教师也因此小心翼翼,生怕碰伤了孩子们脆弱的神经— 惹不起这些家长啊!这一切让新的一代成为了自大和自恋的一代,长大后受不了挫折,难以融入社会。说起这个,我知道的公司里自恋的人才就有一个,从名校毕业的他无视自己的问题,错永远是别人的。我觉得心理治疗师真的对他会有帮助,可以作他的一面镜子。

文章的最后一个观点有点意思。父母在有条件的情况下总是想给孩子们更多的选择,可是Swarthmore大学的社会理论教授和心理学家Barry Schwartz认为给孩子过多的选择反而不好。相反,有限的选择让孩子更有安全感,而不是焦虑感;有限的选择能够帮助他们学会取舍,学会专注 — 这是因为选择少的情况下他们才会去认真比较和做决定,一旦做了决定就会坚持。选择太多的话孩子会难以取舍,仓促做出决定后也不会那么执著。其次,过多的选择会提高孩子的期望值,更容易失望,然后对自己没有作出完美的选择而后悔 —这些对心理健康都是不利。

最后作者有一段总结:为人父母的我们费尽心机为子女打造一个完美的童年,但实际上我们有可能适得其反的在阻扰他们的成长。也许我们才是那些应该长大的人,我们应该学会放手。

注:原文发表在我的Medium账号Writing Is Leading上,那里主要放我的一些英文文章,欢迎光顾。